Задание 2 ЕГЭ по профильной математике

В данном задании даётся задача на работу с векторами.

Требуются знания следующих понятий: прямоугольная система координат, вектор, координаты точки, координаты вектора, модуль вектора, равенство векторов, сумма векторов, произведение вектора на число, разложение вектора по базису, скалярное произведение, векторное произведение, угол между векторами.

Проверяются следующие умения: определять координаты точки; проводить операции над векторами; вычислять длину и координаты вектора, угол между векторами. Моделировать реальные ситуации на языке геометрии; исследовать построенные модели с использованием геометрических понятий и теорем, аппарата алгебры; решать практические задачи, связанные с нахождением геометрических величин.

Пример 1

Даны векторы $\vec{a} (25; 0)$ и $\vec{b} (1; -5)$ . Найдите длину вектора $\vec{a} - 4 \vec{b}$ .

Решение

Для начала найдём координаты вектора $\vec{a} - 4 \vec{b}$ .
$\vec{a} - 4 \vec{b} = (25; 0) - 4 \cdot (1; - 5) = (25; 0) - (4; 20) = (21; 20)$
Найдём длинну вектора: $\sqrt{x^{2} + y^{2}} = \sqrt{21^{2} + 20^{2}} = \sqrt{441 + 400} = 29$

Ответ: 29

Пример 2

Даны векторы $\vec{a} (5; 3)$ и $\vec{b} (4; -6)$ . Найдите скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b}$ .

Решение

Скалярное произведение двух векторов, если известны координаты, можно найти по формуле:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_{a} \cdot x_{b} + y_{a} \cdot y_{b}$
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 5 \cdot 4 + 3 \cdot (- 6) = 20 - 18 = 2$

Ответ: 2

Пример 3

Длины векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равны 3 и 7, а угол между ними равен 60°. Найдите скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b}$ .

Решение

Скалярное произведение двух векторов: $\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot \cos (φ) = 3 \cdot 7 \cdot \frac{1}{2} = 10,5$

Ответ: 10,5