На доске написаны четыре различных натуральных числа, сумма которых равна 20.
а) Может ли произведение этих чисел делиться на 10?
б) Может ли произведение быть больше 550?
в) Найдите наибольшее возможное значение произведения.
а) Может ли произведение этих чисел делиться на 10?
б) Может ли произведение быть больше 550?
в) Найдите наибольшее возможное значение произведения.
Подсказка 1. Для пункта а) подберите четвёрку чисел с суммой 20, среди которых есть 5 и чётное число.
Подсказка 2. Наибольшее произведение дают числа, максимально близкие к среднему значению \(20/4=5\); проверьте набор \(3,4,6,7\).
Подсказка 3. Переберите возможное наименьшее число набора (оно не превосходит 4) и оцените произведение оставшихся трёх.
развёрнутый ответ — реши на бумаге и сверься
Официальное решение.
а) Подходит набор \(2,4,5,9\): сумма равна 20, а произведение \(360\) делится на 10. Да.
б) Пусть числа упорядочены: \(a<b<c<d\), \(a+b+c+d=20\). Тогда \(a\le4\) (иначе сумма не меньше \(5+6+7+8=26\)). При \(a=1\) наибольшее произведение даёт набор \(1,5,6,8\): \(240\). При \(a=2\) — набор \(2,5,6,7\): \(420\). При \(a=3\) оставшиеся три числа дают сумму 17, и наибольшее произведение у набора \(3,4,6,7\): \(504\). При \(a=4\) сумма остальных трёх равна 16, но уже минимальный допустимый набор \(5,6,7\) даёт 18 — невозможно. Итак, произведение не превосходит 504, что меньше 550. Нет.
в) Как показано в пункте б), наибольшее произведение равно \(3\cdot4\cdot6\cdot7=504\). Ответ: а) да; б) нет; в) 504.
Ответ.
а) да; б) нет; в) 504