Задание 19 ЕГЭ по профильной математике — Параметр

Дискриминант: \(\frac{D}{4}=(a-1)^2-(a^2-3a)=a+1\). Два различных действительных корня требуют \(a>-1\). Корни равны \(x_{1,2}=(a-1)\pm\sqrt{a+1}\), меньший из них \(x_1=(a-1)-\sqrt{a+1}\). Оба корня положительны тогда и только тогда, когда \(x_1>0\) (больший корень при этом автоматически положителен). При \(a>-1\) неравенство \(a-1>\sqrt{a+1}\) требует \(a>1\); возводя в квадрат, получаем \(a^2-2a+1>a+1\), то есть \(a^2-3a>0\), откуда при \(a>1\) имеем \(a>3\). При \(a=3\) меньший корень равен нулю и условие не выполнено. Итог: \(a>3\). Ответ: a > 3.

a > 3

Возведение в квадрат равносильно исходному уравнению при условии \(a-x\ge0\), то есть \(x\le a\). Тогда \(x^2-4x+3=(a-x)^2\), откуда \(x^2-4x+3=a^2-2ax+x^2\), то есть \(2x(a-2)=a^2-3\). При \(a=2\) получаем \(0=1\), решений нет. При \(a
e2\) единственный кандидат: \(x_0=\frac{a^2-3}{2(a-2)}\). Он подходит, если \(x_0\le a\). Разность \(x_0-a=\frac{a^2-3-2a^2+4a}{2(a-2)}=-\frac{(a-1)(a-3)}{2(a-2)}\) неположительна при \(a=1\), при \(1<a<2\), при \(a=3\) и при \(a>3\); при \(a<1\), при \(2<a<3\) и при \(a=2\) она положительна либо решение отсутствует. Итог: \(1\le a<2\) или \(a\ge3\). Ответ: 1 ≤ a < 2; a ≥ 3.

1 ≤ a < 2; a ≥ 3