В трапеции \(ABCD\) с основаниями \(AD=12\) и \(BC=4\) диагонали пересекаются в точке \(O\). Площадь трапеции равна 64.
а) Докажите, что площади треугольников \(AOB\) и \(COD\) равны.
б) Найдите площадь треугольника \(AOD\).
а) Докажите, что площади треугольников \(AOB\) и \(COD\) равны.
б) Найдите площадь треугольника \(AOD\).
Подсказка 1. Площади треугольников \(ABD\) и \(ACD\) с общим основанием \(AD\) равны.
Подсказка 2. Из равенства площадей \(ABD\) и \(ACD\) вычтите общую часть — треугольник \(AOD\).
Подсказка 3. Для пункта б) найдите высоту трапеции, а затем расстояние от \(O\) до \(AD\) из подобия треугольников \(BOC\) и \(DOA\).
развёрнутый ответ — реши на бумаге и сверься
Официальное решение.
а) Треугольники \(ABD\) и \(ACD\) имеют общее основание \(AD\), а их высоты, проведённые к этому основанию, равны высоте трапеции. Поэтому \(S_{ABD}=S_{ACD}\). Оба треугольника содержат общую часть — треугольник \(AOD\), значит, \(S_{AOB}=S_{ABD}-S_{AOD}=S_{ACD}-S_{AOD}=S_{COD}\).
б) Высота \(h\) трапеции находится из формулы площади: \(\frac{12+4}{2}\cdot h=64\), откуда \(h=8\). Треугольники \(BOC\) и \(DOA\) подобны с коэффициентом \(\frac{BC}{AD}=\frac13\), поэтому высоты, проведённые из \(O\) к основаниям \(BC\) и \(AD\), относятся как \(1:3\). В сумме они дают \(h=8\), поэтому высота треугольника \(AOD\), проведённая к \(AD\), равна 6. Тогда \(S_{AOD}=\frac12\cdot12\cdot6=36\). Ответ: б) 36.
Ответ.
б) 36