Задание 17Профильная математикаЧасть 2 · развёрнутый ответ
Задание 17 ЕГЭ по профильной математике — Прикладная оптимизация
Разбор номера «Прикладная оптимизация»: как устроено задание, настоящие формулировки из тренажёра с подсказками и официальным решением. Окно практики открывается сразу — без регистрации и онбординга.
Задание 17 (№17 — Прикладная оптимизация) — задача второй части экзамена по профильной математике: здесь нужен не короткий ответ, а развёрнутая запись решения на бумаге. Автопроверки у таких номеров нет и не должно быть — реши сам и сверься с официальным решением, как это делают эксперты на настоящей проверке.
Окно примера ниже — то же, что в приложении: подсказки по одной, сверка с официальным решением и разбор.
Число 12 разбито на два положительных слагаемых. Найдите наибольшее возможное значение произведения квадрата первого слагаемого на второе.
Подсказка 1. Обозначьте первое слагаемое через \(x\), тогда второе равно \(12-x\).
Подсказка 2. Произведение имеет вид \(f(x)=x^2(12-x)\); исследуйте его производную на интервале \(0<x<12\).
Подсказка 3. Уравнение \(f'(x)=0\) даёт \(3x(8-x)=0\), то есть \(x=8\).
развёрнутый ответ — реши на бумаге и сверься
Официальное решение.
Пусть \(x\) — первое слагаемое, тогда второе равно \(12-x\), где \(0<x<12\). Произведение \(f(x)=x^2(12-x)=12x^2-x^3\). Производная \(f'(x)=24x-3x^2=3x(8-x)\). На интервале \(0<x<12\) знак производной определяется множителем \(8-x\): при \(0<x<8\) производная положительна, при \(8<x<12\) отрицательна. Значит, наибольшее значение достигается при \(x=8\): \(f(8)=8^2\cdot4=256\). Ответ: 256.
Число посетителей кофейни в день при цене \(p\) рублей за чашку кофе равно \(220-2p\). Себестоимость одной чашки составляет 10 рублей, других расходов нет. Найдите цену, при которой дневная прибыль кофейни будет наибольшей. Ответ дайте в рублях.
Подсказка 1. Прибыль с одной чашки равна \(p-10\), а число проданных чашек равно \(220-2p\).
Подсказка 3. Раскройте скобки и найдите вершину получившейся параболы.
развёрнутый ответ — реши на бумаге и сверься
Официальное решение.
Прибыль равна \(\Pi(p)=(p-10)(220-2p)=-2p^2+240p-2200\) при \(10<p<110\). Ветви параболы направлены вниз, наибольшее значение достигается в вершине \(p=\frac{240}{4}=60\). При этой цене продаётся \(220-120=100\) чашек, а прибыль равна \(100\cdot50=5000\) рублей. Ответ: 60.
Ответ.
60
Как устроена практика в тренажёре
Опыт за каждое решение
Чистое решение без подсказок ценится выше: опыт, уровни и серии растут с каждым заданием, а не за клики.
Ошибки не пропадают
Нерешённое возвращается в работу над ошибками — тренажёр приведёт к заданию снова, пока оно не закроется без помощи.
Прогноз балла
После нескольких решённых номеров тренажёр показывает прогнозный балл и говорит, какие темы подтянуть, чтобы его поднять.
Закрепи задание 17 в тренажёре
Окно практики откроется сразу — без имени и онбординга. Прогресс сохранится, как только укажешь имя.