Задание 15Профильная математикаЧасть 2 · развёрнутый ответ
Задание 15 ЕГЭ по профильной математике — Стереометрия
Разбор номера «Стереометрия»: как устроено задание, настоящие формулировки из тренажёра с подсказками и официальным решением. Окно практики открывается сразу — без регистрации и онбординга.
Задание 15 (№15 — Стереометрия) — задача второй части экзамена по профильной математике: здесь нужен не короткий ответ, а развёрнутая запись решения на бумаге. Автопроверки у таких номеров нет и не должно быть — реши сам и сверься с официальным решением, как это делают эксперты на настоящей проверке.
Окно примера ниже — то же, что в приложении: подсказки по одной, сверка с официальным решением и разбор.
В правильной четырёхугольной пирамиде \(SABCD\) сторона основания равна 6, а боковое ребро равно 5. Точка \(M\) — середина ребра \(SB\). а) Докажите, что прямая \(AC\) перпендикулярна плоскости \(SBD\). б) Найдите объём пирамиды \(MACD\).
Подсказка 1. Диагонали квадрата перпендикулярны, а высота пирамиды перпендикулярна плоскости основания.
Подсказка 2. Найдите \(SO = \sqrt{SA^2-AO^2}\), где \(AO\) — половина диагонали основания.
Подсказка 3. Высота пирамиды \(MACD\) равна \(SO/2\), а основание — треугольник \(ACD\) площадью 18.
развёрнутый ответ — реши на бумаге и сверься
Официальное решение.
а) В квадрате \(ABCD\) диагонали перпендикулярны: \(AC\perp BD\). Высота \(SO\) пирамиды перпендикулярна плоскости основания, поэтому \(SO\perp AC\). Прямая \(AC\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \(BD\) и \(SO\) плоскости \(SBD\), значит, \(AC\perp(SBD)\). б) \(AO = 6\sqrt{2}/2 = 3\sqrt{2}\), поэтому \(SO = \sqrt{SA^2-AO^2} = \sqrt{25-18} = \sqrt{7}\). Точка \(M\) — середина \(SB\), значит, её расстояние до плоскости основания равно \(SO/2 = \sqrt{7}/2\). Площадь треугольника \(ACD\) равна половине площади квадрата: 18. Тогда \(V_{MACD} = \frac{1}{3}\cdot18\cdot\frac{\sqrt{7}}{2} = 3\sqrt{7}\). Ответ: б) 3√7.
В тетраэдре \(ABCD\) на рёбрах \(AB\), \(AC\) и \(AD\) отмечены точки \(M\), \(K\) и \(P\) соответственно, причём \(AM:MB = 1:2\), \(AK:KC = 1:3\), \(AP:PD = 2:1\). а) Докажите, что объём тетраэдра \(AMKP\) в 18 раз меньше объёма тетраэдра \(ABCD\). б) Найдите объём тетраэдра \(AMKP\), если объём тетраэдра \(ABCD\) равен 90.
Подсказка 1. Объём тетраэдра равен \(\frac{1}{6}\) модуля смешанного произведения трёх векторов, выходящих из одной вершины.
Подсказка 2. Отношение объёмов равно произведению отношений \(\frac{AM}{AB}\cdot\frac{AK}{AC}\cdot\frac{AP}{AD}\).