Задание 14Профильная математикаЧасть 2 · развёрнутый ответ
Задание 14 ЕГЭ по профильной математике — Уравнение
Разбор номера «Уравнение»: как устроено задание, настоящие формулировки из тренажёра с подсказками и официальным решением. Окно практики открывается сразу — без регистрации и онбординга.
Задание 14 (№14 — Уравнение) — задача второй части экзамена по профильной математике: здесь нужен не короткий ответ, а развёрнутая запись решения на бумаге. Автопроверки у таких номеров нет и не должно быть — реши сам и сверься с официальным решением, как это делают эксперты на настоящей проверке.
Окно примера ниже — то же, что в приложении: подсказки по одной, сверка с официальным решением и разбор.
Подсказка 3. Второе уравнение сводится к \(\operatorname{tg} x = \sqrt{3}\) при \(\cos x eq 0\).
развёрнутый ответ — реши на бумаге и сверься
Официальное решение.
Так как \(\sin 2x = 2\sin x\cos x\), уравнение принимает вид \(2\sin^2 x - 2\sqrt{3}\sin x\cos x = 0\), то есть \(2\sin x(\sin x-\sqrt{3}\cos x)=0\). Значит, \(\sin x = 0\), откуда \(x=\pi k\), либо \(\sin x = \sqrt{3}\cos x\), то есть \(\operatorname{tg} x=\sqrt{3}\) (деление на \(\cos x\) законно: там, где \(\cos x=0\), равенство \(\sin x=\sqrt{3}\cos x\) не выполняется), откуда \(x=\pi/3+\pi n\). На отрезке \([-\pi;\pi]\): серия \(\pi k\) даёт \(-\pi\), \(0\), \(\pi\), а серия \(\pi/3+\pi n\) — \(\pi/3\) при \(n=0\) и \(-2\pi/3\) при \(n=-1\). Ответ: а) x=πk, k∈Z; x=π/3+πn, n∈Z. б) −2π/3; −π; 0; π/3; π.
а) Решите уравнение \((2\sin x-\sqrt{3})\operatorname{tg} x = 0\). б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \([-\pi;\,\pi]\).
Подсказка 1. Уравнение распадается на два: \(\operatorname{tg} x = 0\) и \(2\sin x-\sqrt{3}=0\).
Подсказка 2. ОДЗ тангенса: \(\cos x eq 0\), то есть \(x eq\pi/2+\pi k\).
Подсказка 3. Корни \(\sin x=\sqrt{3}/2\) дают две серии, и в них \(\cos x eq 0\) — посторонних нет.
развёрнутый ответ — реши на бумаге и сверься
Официальное решение.
ОДЗ: \(\cos x eq 0\), то есть \(x eq\pi/2+\pi k\). Произведение равно нулю, когда \(\operatorname{tg} x=0\), откуда \(x=\pi k\) (эти точки в ОДЗ входят), или когда \(\sin x=\sqrt{3}/2\), откуда \(x=\pi/3+2\pi n\) и \(x=2\pi/3+2\pi m\) (в них \(\cos x eq 0\), посторонних корней нет). На отрезке \([-\pi;\pi]\): из серии \(\pi k\) это \(-\pi\), \(0\), \(\pi\); из двух других — \(\pi/3\) и \(2\pi/3\). Ответ: а) x=πk, k∈Z; x=π/3+2πn, n∈Z; x=2π/3+2πm, m∈Z. б) −π; 0; π/3; 2π/3; π.